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Frontiera efficiente di Markowitz

Abbiamo spesso detto quanto sia importante avere un portafoglio diversificato per poter ridurre i rischi ed evitare di essere troppo esposti verso un unico asset. Uno dei pionieri di tale tema è il premio Nobel Harry Markowitz con la sua teoria sulla frontiera efficiente per la selezione di un portafoglio d’investimento.

Sfruttando la correlazione tra i titoli o, più in generale, di asset tale studio permette di individuare la corretta allocazione di ciascuno di essi. Il portafoglio che si otterrà avrà l’obiettivo di minimizzare i rischi e ottimizzare i rendimenti.
Tutto ciò si base su tre ipotesi fondamentali:
– L’analisi del portafoglio verrà fatta sulla base di rendimento e rischio medio atteso
– Lo studio si basa su un portafoglio statico, cioè non viene presa in considerazione la possibilità di variare la diversificazione sulla base dei vari avvenimenti che influenzano il mercato
– Gli investitori non accettano di esporsi a rischi.

Cosa significa massimizzare i rendimenti con il minimo rischio?

La frontiera efficiente di Markowitz si potrebbe tradurre in questo modo: tra diverse strategie d’investimento proposte si dovrà scegliere quella che ha:
– Rendimento maggiore
– Rischio minore

Partiamo quindi spiegando cosa intendiamo per rendimento e rischio.

Si definisce rendimento di un portafoglio banalmente la media ponderata dei rendimenti dei vari asset che caratterizzano il portafoglio stesso.

Piccolo spoiler: chi non fosse interessato alla matematica può passare direttamente al paragrafo successivo.


Mettiamo di avere un portafoglio caratterizzato dal 40% (X1) da un titolo A e 60% (X2) da un titolo B . Supponiamo inoltre che che A ha avuto un rendimento del 6% mentre B del 2%. In questo caso il rendimento del nostro portafoglio sarà dato da:

Rendimento = X1 x 6% + X2 x 2% = 3.6%

Il rischio, invece, è dato dalla deviazione standard (σ) o dalla varianza (il quadrato della deviazione standard) di tale portafoglio. Sempre nel caso semplificato di 2 portafogli avremmo quindi che:

Rischi - Deviazione Standard e Varianza
Rischi – Deviazione Standard e Varianza

Nella formula sopra vediamo indicato con il simbolo “ρ” il coefficiente di correlazione lineare dato da:

Coefficiente di correlazione lineare
Coefficiente di correlazione lineare

Dove Cov rappresenta la covarianza dei 2 portafogli. Quello che a noi interessa sapere è che:
– Se A e B non sono correlati, allora ρ = 0.
– Nel caso in cui all’aumentare di A, B scende avremo ρ < 0. In questo caso quindi diremo che sono correlati negativamente
– Viceversa dal caso precedente, avremo che A e B sono correlati positivamente e, quindi, ρ > 0

Per chi fosse interessato, la formula della deviazione standard nel caso di un portafoglio caratterizzato da N asset è la seguente:

Deviazione Standard per un portafoglio con N asset

Un esempio semplice che spiega la potenza della teoria di Markowitz

Confrontando i 2 portafogli proposti nel grafico in basso è subito chiaro che il portafoglio B è quello che vorremmo avere avendo rendimenti più alti con rischi minori.

Fondamenti di Frontiera Efficiente
Fondamenti di Frontiera Efficiente

Bene, la frontiera efficiente ha proprio come obiettivo quello di individuare il portafoglio che permetta di avere a pari rischio il rendimento migliore.

La frontiera efficiente di Markowitz nella pratica

Per avere un’idea chiara di cosa significa applicare la teoria della frontiera di Markowitz efficiente prendiamo un esempio dalle slide messe a disposizione dal Professor Tullio Fumagalli dell’Università di Bergamo.

Tale esempio ci mette di fronte al di caso un investiore ha deciso di investire in 3 diversi titoli (α, β e γ) e che deve ora scegliere la percentuale di alocazione in ciascun titolo.
I rendimenti (E) e i rischi attesi (σ) di questi titoli sono rappresentati nel grafico in basso.

Rischi - Rendimenti di 3 titoli diversi
Rischi – Rendimenti di 3 titoli diversi

Andando ad analizzare tutte le possibili composizioni di α, β e γ in termini di percentuale del proprio portafoglio otterremo infinite combinazioni. Combinazioni che possiamo rappresentare con l’area evidenziato di seguito.

Combinazione dei 3 titoli in termini di rischi/rendimenti
Combinazione dei 3 titoli in termini di rischi/rendimenti

Ecco che il ramo di iperbole Fβ rappresenta la frontiera efficiente.

Abbiamo quindi definito una frontiera efficiente di portafogli che permettono di ottenere massimo rendimento con minimo rischio. Questa frontiera è pur sempre caratterizzata da infiniti punti.

La definizione del portafoglio migliore è legata alla propensione al rischio dell’investitore.

Per questo motivo è stato definito il concetto di curve d’indifferenza. Le curve d’indifferenza, in generale, rappresentano l’insieme dei beni che garantiscono al consumatore lo stesso livello di utilità. Nel nostro caso, quindi, rappresentano la combinazioni di rischi-rendimento accettabile per l’investitore.

Nel grafico in basso è mostrato un esempio di curve di indifferenza. Maggiore sarà la propensione al rischio dell’investitore più tale curva si spingerà a destra nel diagramma rendimento-rischio e viceversa.

Frontiera efficiente e Curve d'indifferenza
Curve d’indifferenza

Il punto di tangenza tra le curve di indifferenza e la frontiera efficiente rappresenta il portafoglio ideale per il singolo investitore.

Frontiera efficiente - Punto di tangenza
Frontiera efficiente e Curve d’indifferenza

Il punto di tangenza, quindi, identifica la percetuale di allocazione dei 3 titoli identificati (α, β e γ) che ottimizzano il portafoglio secondo quelle che sono le caratteristiche del singolo investitore

Esempi di applicazione della frontiera efficiente

Portfolio Visualizer offre la possibilità di calcolare la frontiera efficiente sulla base di dati storici (dal 1978 ad oggi) di rendimento e deviazione standard. Il sito calcola tutto in automatico: basta inserire gli asset che si intende analizzare.

Ad esempio, immaginando un portafoglio composto da azioni USA e obbligazioni governative a lunga scadenza otterremo la seguente frontiera efficiente.

Frontiera efficiente - Azioni USA vs Bond a lunga scadenza
Frontiera efficiente – Azioni USA vs Bond a lunga scadenza

In un ulteriore grafico proposto possiamo invece facilmente individuare la percentuale di allocazione necessaria per ottenere il portafoglio efficiente.

Allocazione Portafoglio - Azioni USA vs Bond a lunga scadenza
Allocazione Portafoglio – Azioni USA vs Bond a lunga scadenza

Volendo, per esercizio, aggiungere un terzo asset come l’oro avremmo ottenuto i risultati riportati nei grafici in basso in termini di:

  • Frontiera Efficiente
Frontiera efficiente - Azioni USA vs Bond a lunga scadenza vs Oro
Frontiera efficiente – Azioni USA vs Bond a lunga scadenza vs Oro
  • Allocazione del portafoglio
Allocazione Portafoglio - Azioni USA vs Bond a lunga scadenza vs Oro
Allocazione Portafoglio – Azioni USA vs Bond a lunga scadenza vs Oro

In conclusione

Un portafoglio diversificato è la base di ogni investimento. Ci permette, infatti, di non esporci troppo su un determinato asset e quindi ridurre al minimo i rischi ovviamente accettando la possibilità i avere ritorni minori di portafogli più sbilanciati. Inoltre, ai fini di avere un portafoglio diversificato è inutile avere degli asset correlati positivamente tra di loro. Una correlazione positiva, infatti, non garantirebbe i risultati che sono alla base di un portafoglio diversificato.

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